Jede Weltkarte lügt, nur verschieden. Ein Blatt, das die Verzerrung von Kartenprojektionen nicht behauptet, sondern an jedem Punkt ausrechnet — aus der Ableitung der Abbildung selbst.
Sechs Projektionen (Mercator, Plattkarte, Lambert zylindrisch / Gall-Peters, Mollweide, Robinson, azimutal äquidistant), dazu:
- Verzerrungsellipsen (Tissot-Indikatrizen) — was aus einem kleinen Kreis auf der Kugel wird
- Flächenfehler als Untergrund — je kräftiger rot, desto stärker aufgebläht
- Messung am Zeiger — Fläche, Winkelfehler, Ost-West- und Nord-Süd-Maßstab
- „Wie groß etwas erscheint" — Grönland gegen Afrika, gerechnet statt erzählt
- Prüflauf — 9765 Messungen, die belegen, was jede Projektion kann und was nicht
Eine Kugel hat Krümmung, ein Blatt Papier nicht. Gauß hat gezeigt, dass sich die Krümmung beim Abwickeln nicht wegrechnen lässt (Theorema egregium). Also muss jede Karte etwas opfern — Flächen, Winkel oder Entfernungen. Die Frage ist nie „verzerrt oder nicht", sondern „wo und wie viel".
Für jeden Punkt wird die Jacobi-Matrix der Abbildung numerisch gebildet (zentrale Differenzen, Schrittweite 10⁻⁵°). Daraus:
- h — Maßstab entlang des Breitenkreises, geteilt durch cos φ, weil die Längengrade zum Pol hin zusammenlaufen
- k — Maßstab entlang des Meridians
- Fläche — Betrag der Determinante, ebenfalls durch cos φ
- Halbachsen der Ellipse — aus der Singulärwertzerlegung der 2×2-Matrix
- Winkelfehler ω — 2·arcsin((a−b)/(a+b)), null bei einem Kreis
| Behauptung | Ergebnis |
|---|---|
| Mercator ist winkeltreu | 1085 Punkte, größte Abweichung h gegen k: 1,8·10⁻⁷ % |
| Lambert zylindrisch ist flächentreu | größte Abweichung 1,5·10⁻⁹ von 1 |
| Mollweide ist flächentreu | größte Abweichung 2,5·10⁻⁹ von 1 |
| Zahlen gegen die geschlossene Formel | Mercator gegen sec φ, Abweichung 0 |
| Keine kann beides zugleich | 6 Projektionen geprüft, keine ist winkel- und flächentreu |
| Die Ortsrückrechnung trifft | größte Abweichung 0,03° |
Und die Zahl, um die es eigentlich geht: Grönland erscheint auf Mercator als 0,748 Afrikas. Tatsächlich sind es 0,071 — der Zehnfache Irrtum, den fast jede Wandkarte transportiert.
h und k sind nicht die Ellipsenachsen. Der naheliegende Weg: h ist der Ost-West-Maßstab, k der Nord-Süd-Maßstab, also nimmt man beide als Halbachsen der Tissot-Ellipse und ist fertig. Das stimmt nur, solange Meridiane und Breitenkreise sich rechtwinklig schneiden. Bei Mollweide tun sie das nicht — dort ergibt h·k an einzelnen Punkten 2,44 statt 1, obwohl die Projektion exakt flächentreu ist:
| Ort | h·k | tatsächliche Fläche |
|---|---|---|
| 0° / 45° N | 1,0000 | 1,0000 |
| 120° O / 45° N | 1,3998 | 1,0000 |
| 170° O / 60° N | 2,4397 | 1,0000 |
Die Ellipsen wären am Kartenrand um mehr als das Doppelte zu groß gezeichnet worden — und die Flächentreue von Mollweide hätte im eigenen Prüflauf als Fehler ausgesehen. Richtig ist die Singulärwertzerlegung der Jacobi-Matrix; die Determinante liefert die Fläche unabhängig davon, ob das Netz rechtwinklig ist.
Die Leinwand hatte eine feste Höhe. Mercator bis 84° ist fast quadratisch (x-Spanne 6,28, y-Spanne 5,91). In einem 1040×580-Rechteck blieb davon ein schmaler Streifen in der Mitte, mit 40 % ungenutzter Fläche links und rechts. Jetzt bekommt die Leinwand das Seitenverhältnis der Projektion — Peters wird flach, das azimutale Netz quadratisch, und das ist selbst schon eine Aussage über die Projektion.
Grün hieß zweierlei. Die Legende schrieb Grün dem Untergrund zu („Fläche stimmt"), die Ellipsen benutzten dasselbe Grün für „Winkel stimmen". Auf Mercator ergab das eine rot eingefärbte Karte voller grüner Kreise — als widerspräche sich das Blatt selbst. Die Legende benennt jetzt beide Kanäle getrennt.
Robinson hat keine Formel. Die Projektion ist als Tabelle mit Stützstellen alle 5° definiert. Zwischen den Stützstellen wird linear interpoliert, die Ableitung ist damit stückweise konstant und springt an jedem Knoten alle 5°. Der gemessene Flächenfehler ist deshalb nicht glatt, sondern eine Treppe — kein Fehler im Blatt, sondern eine Eigenschaft der Projektion, wie sie üblicherweise implementiert wird. In der Einfärbung fällt es nicht auf, weil die Rasterzellen genau auf denselben 5°-Knoten liegen; in den Zahlen am Zeiger sieht man es.
Was das Blatt nicht kann: Es zeigt kein Land. Küstenlinien bräuchten einen Datensatz, und eine einzelne HTML-Datei ohne externe Zeile Code soll es bleiben. Statt Grönland zu zeichnen, rechnet die Tabelle aus, wie groß Grönland erschiene — das trägt dieselbe Aussage und erfindet keine Geometrie. Die Landmassen sind mit einer groben Mittelbreite angesetzt; für weit auseinanderliegende Gebiete ist das gut genug, für den Vergleich zweier Nachbarländer nicht.
Eine einzelne HTML-Datei. Kein Build, keine Bibliothek, nichts verlässt den Browser. Canvas 2D, reines JavaScript, hell und dunkel.
Alle Blätter nach Feld geordnet, jedes mit eigenem Repo: ssims437.github.io
MIT