Лабораторна робота №2

Завдання 1: Обчислення власних значень та власних векторів матриці (0.5 б.).

Опис: Напишіть функцію, яка приймає квадратну матрицю і повертає її власні значення та власні вектори, використовуючи бібліотеку NumPy. Також здійсніть перевірку рівності A⋅ v=λ⋅ v для кожного власного значення та відповідного власного вектора.

---

Завдання 2. Реалізація методу зменшення розмірності зображення за допомогою аналізу головних компонент (PCA: Image Compression) (4 б.).

Опис: Реалізувати функцію для зменшення розмірності зображення за допомогою аналізу головних компонент (PCA).

Необхідні бібліотеки для виконання завдання: NumPy, matplotlib, Scikit-learn або їх аналоги.

Алгоритм виконання завдання:

1. Вивести початкове кольорове зображення та вектор, що буде містити: розміри зображення в пікселях та кількість основних каналів кольорів, що використовуються

2. Перетворити зображення в чорно-біле та вивести розмір зображення і кількість каналів кольорів (0.25 б.)

3. Застосувати PCA для матриці компонентів image_bw. Вивести cumulative variance та знайти кількість компонент, які необхідні для покриття 95% of the variance. Використовуйте бібліотечні засоби (рекомендовано NumPy) (0.75 б.).

Вивести графік відповідного процесу: додаткові 0.5 б.

5. Провести реконструкцію чорно-білого зображення, використовуючи обмежену кількість компонентів, знайдену в попередньому кроці. Вивести отримане зображення. Для 95% покриття даних очікувано отримати більш чітке зображення, чи не так? Зауважте, що ми точно зафіксували всі основні елементи – ви все ще можете дуже добре ідентифікувати об’єкти. Чого не вистачає, так це чіткості — та, можливо, саме дрібні деталі у візуальних елементах роблять зображення привабливим і чітким. 1б.

6. Проведіть реконструкцію зображення для різної кількості компонент та виведіть відповідні результати. Спробуйте взяти більшу кількість компонент та виведіть відповідний результат. Чи отримали ви більш чітке зображення? А якщо взяти меншу кількість компонент? (2 б).

---

Завдання 3: Використання діагоналізації, власних значень та векторів в криптографії.

Опис: Використайте діагоналізацію для розшифрування кодів**.** Рекомендується використовувати бібліотеку Numpy. Корисні посилання: Короткий опис як можна застосовувати принципи лінійної алгебри в криптографії,відео про саму криптографію 1.5 б.

Завдання:

1. Створити функцію decrypt_message(encrypted_vector, key_matrix), яка розшифровує зашифрований вектор encrypted_vector за допомогою матриці ключа key_matrix, використовуючи обернену операцію діагоналізації.

2. Функція кодування задається таким чином:

   

3. Перевірити роботу розроблених функцій на прикладі випадково згенерованої матриці ключа та текстового повідомлення.

   

---

Теоретичні питання 2б.:

1. Що таке власне значення і власний вектор матриці? Як вони обчислюються? 0.25 б.
2. Які властивості мають власні вектори симетричних матриць? 0.25 б.
3. Які можуть бути недоліки використання PCA, і які стратегії можуть використовуватися для подолання цих недоліків? 0.75 б.
4. Які переваги має діагоналізація матриці в криптографії? Як вона застосовується для шифрування та дешифрування повідомлень? 0.75 б.