[20250211] BOJ / 플래3 / XOR 합 / 권혁준

[oncsr]

🧷 문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/13504

🧭 풀이 시간

25분

👀 체감 난이도

• 상
• 중
• 하

✏️ 문제 설명

• $N$개의 수로 이루어진 수열 A가 주어진다.
• 수열 A에서 연속된 부분 수열을 고르려고 한다. 부분 수열의 XOR 합이란, 부분 수열에 들어있는 모든 원소를 XOR한 값을 의미한다.
• 수열 A가 주어졌을 때, XOR 합이 가장 큰 부분 수열을 찾는 프로그램을 작성하시오.

🔍 풀이 방법

• 문제를 조금 바꿔보자.

• 어떤 수열 B에서, 어떤 수 $x$와 XOR했을 때 가장 큰 값을 구하려고 한다. (즉, $\max(B_i \oplus x)$를 구하려고 한다.)

• 이 문제는, 이진수 트라이를 이용하면 가장 큰 값을 $O(\log{\max(B)})$의 시간에 구할 수 있다.

• 트라이의 최상위 노드(루트)를 깊이 31로 설정해놓고, 내려갈수록 깊이가 줄어든다고 하자.

• 각 노드는 왼쪽 자식 혹은 오른쪽 자식을 가질 수 있으며, 각각 비트 0 혹은 1을 의미한다.

• 수열의 원소를 트라이에 모두 삽입하고, 최댓값을 구할 때는 정수 x에 대해 트라이의 루트에서 출발하여, 최대한 다른 비트로 가도록 했을 때 나온 값이 답이 된다.

• 이 문제에서는, 연속 부분 수열의 최대 XOR을 찾아야 하고, XOR의 성질에 의해 $(A_1 \oplus \cdots \oplus A_i) \oplus (A_1 \oplus \cdots \oplus A_k) = A_{k+1} \oplus \cdots \oplus A_i$가 된다. (단, $k < i$)

• 수열 $S$를 새로 만들어 $S_i = A_1 \oplus \cdots \oplus A_i$로 정의하면, 수열 $S$에서 위 문제를 푸는 것과 동일하게 변한다.

⏳ 회고

이진수 트라이를 오랜만에 구현해서 좀 복잡하게 짠 것 같다. 분명히 더 쉽게 짜는 법이 있을 것 같은데 나중에 비슷한 문제가 나오면 더 최적화를 해봐야겠다