[20250605] BOJ / P5 / 비 오는 날 / 권혁준

[oncsr]

🧷 문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/23578

🧭 풀이 시간

40분

👀 체감 난이도

• 상
• 중
• 하

✏️ 문제 설명

정점이 N개인 그래프에 모든 정점들 사이의 이동이 가능하도록 간선을 배치해야 한다.
각 정점에는 가중치 A[i]가 존재하며, 그래프의 불만도는 모든 정점의 (차수)^2 * A[i]의 합과 같다.
그래프의 최소 불만도를 구해보자.

🔍 풀이 방법

[사용한 알고리즘]

• 우선순위 큐
• 차수열

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최소 불만도를 가지려면 그래프가 트리 형태여야만 하는 것은 자명하다.
트리가 아닌 그래프 형태라면, 간선 제거를 통해 더 적은 불만도를 가지는 트리를 항상 만들어낼 수 있기 때문이다.

또, 정점이 N개인 트리에서의 모든 정점의 차수 합은 항상 2N-2이다. 간선 개수가 N-1이기 떄문이다.

여기서, 트리 형태를 만족해야 하므로 모든 정점의 차수는 반드시 1이상이어야 한다.

즉, 각 정점의 차수를 D[i]라고 하면, 모든 D[i]에 대해 D[i] >= 1이고, $\sum$D[i] = 2N-2라는 것이다.
그리고, 위 조건만 만족한다면 D[i] 값이 어떻게 되든 상관없이 항상 그에 맞는 트리를 구성할 수 있다.

따라서, 초기에 차수 1씩 모두 할당한 뒤에 우선순위 큐로 최소가 되는 점을 매번 뽑아주는 작업을 N-2번 하면 된다.

⏳ 회고

간선으로 이어진 두 점을 동시에 신경쓰는 풀이로 가려다 보니 너무 헷갈렸다.

[lkhyun]

댓글을 달고 싶은데 너무 어려워서 무슨말인지 모르겟어요