[20250308] BOJ / G2 / MEX / 권혁준

[oncsr]

🧷 문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/23820

🧭 풀이 시간

60분

👀 체감 난이도

• 상
• 중
• 하

✏️ 문제 설명

길이 $N$인 수열 $A_1, A_2, \cdots, A_N$이 주어지면, $mex( [ A_i \times A_j\ | 1 \le i \le j \le N ] )$를 구해보자.
$mex(S)$는 집합 S에 포함되지 않은 가장 작은 0 이상의 정수이다.

🔍 풀이 방법

[사용한 알고리즘]

• 수학

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우선, 수열의 원소가 $2,000,000$이하라서 이보다 큰 가장 작은 소수는 절대로 만들 수 없다. => 이 소수를 $P$라고 하자.
그리고, 수열에 0이나 1이 없는 경우는 mex값이 각각 0, 1이므로 제외하고 생각한다.

풀이

수열의 원소 중 작은 수부터 볼 것이다.

1️⃣ 어떤 수 $a$가 수열에 존재하고, $a$보다 작은 수들 내에서 $mex$값이 $a$ 이상이라면, $a$부터 $a^2$까지 수 중 $a$의 배수는 항상 만들 수 있다고 봐도 상관없다.

따라서, 등장한 원소들 각각에 대해, 직접 $A_i$부터 ${A_i}^2$까지의 $A_i$배수들을 만들 수 있다고 체크해주면 된다. ( => 구현은 boolean 배열로 했다.)

이후, 체크한 배열을 돌며 만들 수 없는 가장 작은 수를 찾아내면 된다.

1️⃣ 의 증명

만약 $a$부터 $a^2$까지 수 중 만들 수 없는 $a$의 배수가 있다고 가정하고, 그 수를 $a \times b$라고 하자.
$b < a$이기 때문에, $b$가 없어서 생기는 곱의 부재는 $a \times b$까지 오기 전에 $b \times b$에서 걸러지기 때문이다.

예시

수열 $A = [0, 1, 2, 3, 5, 6]$이라고 가정하자.
원소 $6$에 대해, 그 전까지의 수들만을 이용해 $mex$를 $6$이상으로 만들 수 있다.
$6$부터 $36$까지의 $6$의 배수들을 모두 만들 수 있다고 가정했지만, 실제로는 $6 \times 4 = 24$를 만들 수 없다.
하지만, $mex$값으로 $24$가 가능한지 확인하기 전에, 이미 $4$의 부재로 $mex$는 $16$을 만들 수 없게 된다.

시간복잡도

이 문제에서 중복 값을 가지는 원소가 있다면, 굳이 여러 번 수행할 필요 없이 중복을 제거해도 상관없다.

각 원소 $A_i$에 대해, 체크 작업의 연산량은 $\dfrac{2,000,000}{A_i}$이다.
따라서 시간 복잡도는 원소의 최댓값을 $X$라 할 때, $O(\frac{X}{2} + \frac{X}{3} + \cdots + \frac{X}{X})$이다.
$\Rightarrow$ $O(X\log{X})$이다. (조화수열의 합 $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{X} = O(\log{X})$이기 때문)

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더 쉬운 풀이

풀고 나니까 훨씬 더 쉬운 풀이가 생각났다.

각 원소 $A_i$의 배수들 중 $P$보다 작은 수들을 $K$라고 하자.
반복문 한 번으로 $\frac{K}{A_i}$가 수열에 존재하는지 체크해서, $K$를 만들 수 있는지 여부를 저장한다.
이 역시 조화수열의 합에 의해 시간 내에 통과될 수 있는 풀이다.

⏳ 회고

진짜 수학 너무 어렵다