[20250306] BOJ / P4 / My뷰 꾸미기 / 권혁준

[oncsr]

🧷 문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/25569

🧭 풀이 시간

60분

👀 체감 난이도

• 상
• 중
• 하

✏️ 문제 설명

당신은 $N$개의 관심 분야를 정하고, 관심 분야마다 $2$명의 에디터를 골라 그들의 콘텐츠를 받아보기로 했다.

$i\ (1 \le i \le N)$번째 관심 분야의 에디터 $2$명은 각각 현재까지 $A_i$개, $B_i$개의 글을 작성하였다.
당신은 각 관심 분야마다, 에디터 $2$명의 글이 같은 개수만큼 등장하도록 _My뷰_를 꾸밀 것이다.
또한, 에디터마다 최소 $1$개 이상씩의 글이 등장하도록 할 것이다.

_My뷰_를 구성할 수 있는 경우의 수를 $10^9 + 7$로 나눈 나머지를 구해보자.

🔍 풀이 방법

[사용한 알고리즘]

• 조합론
• 분할 정복을 이용한 거듭제곱
• 페르마의 소정리

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식 도출하기

• $i$번째 관심 분야에서 글을 고르는 경우의 수를 $f(i)$라고 정의했다.
• $i$번째 관심 분야 $(A_i, B_i)$에 대해서 $v = \min(A_i, B_i)$라고 하면, $f(i)$는 ((글을 $1$개 고르는 경우) + (글을 $2$개 고르는 경우) + ... + (글을 $v$개 고르는 경우)) $\mod (10^9 + 7)$이다.
• 글을 $k$개 고르는 경우의 수 => 각 사람이 쓴 글에서 $k$개씩 골라오게 되면
  $_{A_i}C_{k} \times _{B_i}C_{k} \mod (10^9 + 7)$이다.
• 식을 정리하면, $f(i) = \sum \limits_{k=1}^{\min(A_i, B_i)} {_{A_i}C_{k} \times _{B_i}C_{k}} \mod (10^9 + 7)$이다.

빠르게 계산하기

• A의 글과 B의 글을 한 곳에 모아놓고 생각하면, $A_i + B_i$개의 글 중에서 $\min(A_i, B_i)$개만 고르는 경우로 치환이 가능하다.
• 다시 쓰면, $f(i) = $_{A_i + B_i}C_{\min(A_i,B_i)} - 1$이다. (글을 고르지 않는 경우는 불가능하니 1을 빼준다)
• 이 $f(i)$를 $10^9 + 7$로 나눈 나머지는 페르마의 소정리와 분할 정복을 이용한 거듭제곱으로 $O(\log{A_i})$만에 구할 수 있다.

정답 구하기

• 위의 $f(i)$를 모두 곱한 값에 $10^9 + 7$로 나눈 나머지를 취하면 된다.

⏳ 회고

• $f(i)$ 구하는 기다란 식까지는 잘 도출했는데, 두 명의 글을 합쳐놓고 뽑는다는 생각을 못했다.
• 무료 gpt도 많이 똑똑한 것 같다