[20251106] BOJ / G1 / XOR Hashing / 권혁준

[oncsr]

🧷 문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/26653

🧭 풀이 시간

20분

👀 체감 난이도

• 상
• 중
• 하

✏️ 문제 설명

2차원 평면에서 좌표값의 범위가 0 이상 2^N 미만에 속하도록 M개의 점을 균일한 확률로 뽑는다.
점 (x,y)의 해시 값을 x와 y의 xor값으로 정할 때, M개의 점 중 같은 해시 값을 가진 쌍이 존재할 확률을 구해보자.

🔍 풀이 방법

어떤 점을 골라도 xor값은 항상 0 이상 2^N 미만이기 때문에, 비둘기집 원리에 의해 M > 2^N인 경우에는 같은 값이 항상 존재하게 된다. -> 1 출력

이제부터는 M <= 2^N인 경우만 고려한다.
점을 하나 골랐을 때 xor 값이 i일 확률을 f(i)라고 하면, f(0)부터 f(2^N - 1)까지 모두 동일하다.
그래서 답은 1 - (xor 값이 모두 다를 확률)로 구했다.
xor값이 모두 다를 확률은 (2^N)개의 점 중에서 서로 다른 점 M개를 뽑을 확률이니까 permutation(2^N, M) / 2^NM이 된다.

분수에 대한 나머지 연산은 페르마의 소정리와 분할 정복 거듭제곱을 이용해서 처리해줬다.

⏳ 회고

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