problemset/problemset.tex at master · VSTU-physics/problemset · GitHub

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
\documentclass[a4paper]{book}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage{graphicx}

\usepackage{amsmath,amsthm}
\newtheoremstyle{problemstyle}  % <name>
        {3pt}                 % <space above>
        {3pt}                 % <space below>
        {\normalfont}         % <body font>
        {}                    % <indent amount}
        {\normalfont\bfseries}   % <theorem head font>
        {\normalfont\bfseries.} % <punctuation after theorem head>
        {.5em}              % <space after theorem head>
        {}  % <theorem head spec (can be left empty, meaning `normal')>
\theoremstyle{problemstyle}
\newtheorem{problem}{} % нумерация задач задумана сквозной

\newcommand{\divisible}{\mathop{\raisebox{-2pt}{\vdots}}}

\usepackage{hyperref}

\author{Трус \and Балбес \and Бывалый}
\title{Задачник для детей от 15 до 25}
\begin{document}
    \maketitle
    \input{intro.tex}
    \tableofcontents
    \part{Задачи}
    \chapter{Геометрия}
    \begin{problem}
        Определить объём \(n\)-мерной пирамиды, если все рёбра, исходящие из
        одной из её вершин, имеют единичную длину и попарно перпендикулярны.
    \end{problem}
    \begin{problem}
        Определить объём \(n\)-мерного аналога тетраэдра.
    \end{problem}
    \begin{problem}
        Исследовать зависимость отношения объёма гиперсферы к объёму описанного
        около неё гиперкуба от размерности евклидова пространства.
    \end{problem}
    \begin{problem}
        Раскрасить поверхность бутылки Клейна различными цветами так, чтобы
        каждая область определённого цвета граничила со всеми остальными.
        Какое минимальное число цветов необходимо?\\
        \textit{Примечание: точка не является границей двух областей.}
    \end{problem}
    \begin{problem}
        Тор с \(n\) дырками называется тором \(n\)-го рода. Что получится, если
        вывернуть через отверстие тор \(n\)-го рода?
    \end{problem}
    \begin{problem}
        Вычислить \( \int \vec{r} \cdot d\vec{S} \) по следующим
        поверхностям:
        \begin{enumerate}
            \item сфере радиуса \( R \);
            \item эллипсоиду с полуосями \( a \), \( b \) и \( c \);
            \item дикой сферы.
        \end{enumerate}
        \begin{figure}[h]
            \centering
            \includegraphics[width=0.5\linewidth]{images/wild-sphere}
            \caption{Та самая дикая сфера}
            \label{fig:wild-sphere}
        \end{figure}
    \end{problem}
    \begin{problem}
        Может ли круг меньшего радиуса содержать в себе круг большего радиуса?
    \end{problem}
    \chapter{Анализ}
    \begin{problem}
        Имеется сферическое однородное облако плазмы, которое покоится в
        начальный момент. Пусть его радиус \( R_0 \), а заряд \( Q_0 \).
        Определить характер его движения и получить зависимость плотности заряда
        от координат и времени \( \rho(\vec{r}, t) \).
    \end{problem}
    \begin{problem}
        Определить закон движения <<солнечного паруса>> (идеально
        отражающего плоского зеркала) площадью \( S \) и массой \(m\) в поле
        тяготения Солнца.
    \end{problem}
    \begin{problem}
        Как будет выглядеть формула Циолковского для фотонной ракеты, двигатель
        которой выполнен в виде параболического зеркала, в фокусе которого
        происходит аннигиляция горючего из вещества и антивещества?
    \end{problem}
    \chapter{Комбинаторика}
    \begin{problem}
        <<Счастливым>> называется билет с 6-значным номером, сумма первых трёх
        цифр которого равна сумме последних трёх\footnote{в Волгограде такие
        билеты называют <<счастливыми по-московски>>; существуют также билеты,
        <<счастливые по-питерски>>}. Сколько всего существует
        <<счастливых>> билетов?
    \end{problem}
    \begin{problem}
        Возможно ли расставить по кругу числа от 1 до 12 так, чтобы для любых 3
        последовательно расположенных чисел \(a\), \(b\) и \(c\) выполнялось
        условие \( b^2 - ac \divisible 13 \)? Если да, то сколько различных
        способов (без учёта начального элемента и направления обхода) существует?
    \end{problem}
    \part{Указания}
    \part{Решения}
\end{document}