diff --git a/data/handouts/Images/angles-90-60-30.asy b/data/handouts/Images/angles-90-60-30.asy
index 4fc357f..3896cbc 100644
--- a/data/handouts/Images/angles-90-60-30.asy
+++ b/data/handouts/Images/angles-90-60-30.asy
@@ -1,26 +1,26 @@
import _common;
real a = 55;
-pair B = (0, 0);
-pair A = (a, 0);
+pair B = (0, 0);
+pair C = (a, 0);
pair Bp = (2 * a, 0);
-pair C = (a, a * sqrt(3));
+pair A = (a, a * sqrt(3));
-AngleMark(A, B, C, LightBlue);
-RightAngleMark(B, A, C);
+AngleMark(C, B, A, LightBlue);
+RightAngleMark(A, C, B);
-Draw(B, A);
Draw(B, C);
-Draw(C, A);
-Draw(A, Bp);
-Draw(Bp, C);
+Draw(B, A);
+Draw(A, C);
+Draw(C, Bp);
+Draw(Bp, A);
-LabeledDot(B, "B", SW);
-LabeledDot(C, "C", N);
+LabeledDot(B, "B", SW);
+LabeledDot(A, "A", N);
LabeledDot(Bp, "B'", SE);
-LabeledDot(A, "A", S);
+LabeledDot(C, "C", S);
-EdgeLabel(B, C, "2a", W, distanceOffset = 8);
-EdgeLabel(C, Bp, "2a", E, distanceOffset = 8);
-EdgeLabel(B, A, "a", S, distanceOffset = 8);
-EdgeLabel(A, Bp, "a", S, distanceOffset = 8);
+EdgeLabel(B, A, "2a", W, distanceOffset = 8);
+EdgeLabel(A, Bp, "2a", E, distanceOffset = 8);
+EdgeLabel(B, C, "a", S, distanceOffset = 8);
+EdgeLabel(C, Bp, "a", S, distanceOffset = 8);
diff --git a/data/handouts/Images/angles-90-60-30.pdf b/data/handouts/Images/angles-90-60-30.pdf
index b8c9849..8112d7f 100644
Binary files a/data/handouts/Images/angles-90-60-30.pdf and b/data/handouts/Images/angles-90-60-30.pdf differ
diff --git a/data/handouts/Images/angles-90-60-30.svg b/data/handouts/Images/angles-90-60-30.svg
index 677799c..25ca44f 100644
--- a/data/handouts/Images/angles-90-60-30.svg
+++ b/data/handouts/Images/angles-90-60-30.svg
@@ -21,13 +21,13 @@
@@ -231,7 +231,7 @@
id="g25">
diff --git a/data/handouts/Images/angles-isosceles-right-triangle.asy b/data/handouts/Images/angles-isosceles-right-triangle.asy
index c51a93c..7244f35 100644
--- a/data/handouts/Images/angles-isosceles-right-triangle.asy
+++ b/data/handouts/Images/angles-isosceles-right-triangle.asy
@@ -1,9 +1,10 @@
import _common;
real leg = 65;
-pair A = (0, 0);
-pair B = (leg, 0);
-pair C = (0, leg);
+real half = leg / sqrt(2);
+pair A = (0, half);
+pair B = (-half, 0);
+pair C = ( half, 0);
RightAngleMark(B, A, C);
@@ -14,6 +15,6 @@ Draw(A, B);
Draw(C, B);
Draw(C, A);
-LabeledDot(A, "A", SW);
-LabeledDot(B, "B", SE);
-LabeledDot(C, "C", NW);
+LabeledDot(A, "A", N);
+LabeledDot(B, "B", SW);
+LabeledDot(C, "C", SE);
diff --git a/data/handouts/Images/angles-isosceles-right-triangle.pdf b/data/handouts/Images/angles-isosceles-right-triangle.pdf
index 46f3972..18db953 100644
Binary files a/data/handouts/Images/angles-isosceles-right-triangle.pdf and b/data/handouts/Images/angles-isosceles-right-triangle.pdf differ
diff --git a/data/handouts/Images/angles-isosceles-right-triangle.svg b/data/handouts/Images/angles-isosceles-right-triangle.svg
index cf5a074..31ec241 100644
--- a/data/handouts/Images/angles-isosceles-right-triangle.svg
+++ b/data/handouts/Images/angles-isosceles-right-triangle.svg
@@ -1,8 +1,8 @@
diff --git a/data/handouts/angle-basics-1.cs.tex b/data/handouts/angle-basics-1.cs.tex
index 24161db..13a50b3 100644
--- a/data/handouts/angle-basics-1.cs.tex
+++ b/data/handouts/angle-basics-1.cs.tex
@@ -98,11 +98,11 @@
\Image{angles-polygon-interior.pdf}
- \Remark{nekonvexní mnohoúhelníky} Vzorec $(n-2)\cdot 180^\circ$ platí i~pro navzájem se neprotínající nekonvexní mnohoúhelníky, pokud všechny vnitřní úhly měříme směrem dovnitř -- tedy i~úhly větší než $180^\circ$ počítáme jako takové.
+ \Remark{nekonvexní mnohoúhelníky} Vzorec $(n-2)\cdot 180^\circ$ platí i~pro nekonvexní mnohoúhelníky, pokud všechny vnitřní úhly měříme směrem dovnitř -- tedy i~úhly větší než $180^\circ$ počítáme jako takové.
- Vějířová triangulace z~jednoho vrcholu nemusí fungovat ani z~konvexního vrcholu -- některé úhlopříčky mohou procházet mimo mnohoúhelník. Platí však, že každý jednoduchý $n$-úhelník se dá rozdělit na $n-2$ trojúhelníků (ne nutně vějířovitě), což důkaz zachrání. Důvodem je indukce přes trojúhelník tvořený nějakým vrcholem $V$ a~jeho sousedy $U$, $W$, který leží celý uvnitř našeho $n$-úhelníku. Odříznutím $V$ úhlopříčkou $UW$ dostaneme $(n-1)$-úhelník; opakováním tedy $n-2$ trojúhelníků. Dá se dokázat, že takový trojúhelník vždy existuje (dokonce dva), viz \Link[https://en.wikipedia.org/wiki/Two_ears_theorem]{věta o~dvou uších}.
+ Vějířová triangulace z~jednoho vrcholu nemusí fungovat -- některé úhlopříčky mohou procházet mimo mnohoúhelník. Platí však, že každý jednoduchý $n$-úhelník se dá rozdělit na $n-2$ trojúhelníků (ne nutně vějířovitě), což důkaz zachrání. Důvodem je indukce přes trojúhelník tvořený nějakým vrcholem $V$ a~jeho sousedy $U$, $W$, který leží celý uvnitř našeho $n$-úhelníku. Odříznutím $V$ úhlopříčkou $UW$ dostaneme $(n-1)$-úhelník; opakováním tedy $n-2$ trojúhelníků. Dá se dokázat, že takový trojúhelník vždy existuje (dokonce dva), viz \Link[https://en.wikipedia.org/wiki/Two_ears_theorem]{věta o~dvou uších}.
- K~důkazu~3: funguje jen pokud existuje vnitřní bod $O$ viditelný ze všech vrcholů (tj. úsečky $OA_i$ leží celé uvnitř). Pro některé nekonvexní mnohoúhelníky takový $O$ nemusí existovat (zkuste takový nakreslit) -- v~takovém případě se důkaz~3 nedá přímo zachránit a~je třeba sáhnout po triangulaci z~důkazu~2.
+ K~důkazu~3: funguje jen pokud existuje vnitřní bod $O$ viditelný ze všech vrcholů (tj. úsečky $OA_i$ leží celé uvnitř). Pro některé nekonvexní mnohoúhelníky takový bod~$O$ nemusí existovat (zkuste takový nakreslit) -- v~takovém případě se důkaz~3 nedá přímo zachránit a~je třeba sáhnout po triangulaci popsané v~předchozím odstavci.
}
Teď uveďme ještě dvě jednoduchá, ale užitečná pomocná tvrzení:
@@ -208,7 +208,7 @@
\Image{angles-Ssa-proof-isosceles.pdf}
- Pokud by bylo $b < a$, bod $B$ by ležel \textit{vně} kružnice $k$. Polopřímka by ji mohla protnout ve dvou bodech -- vznikly by tak dva různé (neshodné) trojúhelníky -- nebo by ji minula úplně, což nevede k~žádnému trojúhelníku.
+ Pokud by bylo $b < a$, bod $B$ by ležel \textit{vně} kružnice $k$. Polopřímka by ji mohla protnout ve dvou bodech -- vznikly by tak dva různé (neshodné) trojúhelníky.
\Image{angles-Ssa-proof-two-solutions.pdf}
@@ -220,11 +220,11 @@
\Theorem{rovnoramenný trojúhelník}{
Dokažte, že pokud pro trojúhelník~$ABC$ platí $|AB|=|AC|$, tak $|\angle ABC|=|\angle ACB|$. Dokažte také obrácenou implikaci (tedy že z~rovnosti úhlů vyplývá rovnost délek).
}{
- \textit{Přímá implikace.} Předpokládejme $|AB| = |AC|$. Nechť $M$ je střed $BC$. Trojúhelníky $ABM$ a~$ACM$ jsou shodné podle $sss$ ($|AB|=|AC|$ z~předpokladu, $|BM|=|CM|$ ze~středu, společná strana $AM$), odkud $|\angle ABC| = |\angle ACB|$.
+ \textit{Přímá implikace.} Předpokládejme $|AB| = |AC|$. Nechť $M$ je střed $BC$. Trojúhelníky $ABM$ a~$ACM$ jsou shodné podle $sss$ ($|AB|=|AC|$ z~předpokladu, $|BM|=|CM|$ ze~středu, společná strana $AM$), odkud $|\angle ABC| = |\angle ACB|$. Tento důkaz funguje i s~jinými volbami bodu $M$. Pokud za $M$ vezmeme patu kolmice z~$A$ na $BC$, dostaneme společnou stranu $AM$, $|AB|=|AC|$ a~pravý úhel při~$M$, který leží naproti nejdelší straně (přeponě) $AB$ resp.~$AC$ -- aplikujeme větu $Ssu$. Pokud za $M$ vezmeme patu osy vnitřního úhlu při~$A$, máme $|AB|=|AC|$, shodný úhel $|\angle BAM|=|\angle CAM|$ a~společnou stranu $AM$ mezi nimi -- aplikujeme větu $sus$.
\Image{angles-isosceles-triangle.pdf}
- \textit{Obrácená implikace.} Předpokládejme $|\angle ABC| = |\angle ACB| = \beta$. Nechť $M$ je pata kolmice z~$A$ na $BC$. Podle věty $usu$ je $\triangle ABM \cong \triangle ACM$, neboť máme dva shodné úhly $|\angle ABM| = |\angle ACM|$ a~$|\angle AMB| = |\angle AMC| = 90^\circ$ a~společnou stranu~$AM$, tedy $|AB| = |AC|$.
+ \textit{Obrácená implikace.} Předpokládejme $|\angle ABC| = |\angle ACB| = \beta$. Nechť $M$ je pata kolmice z~$A$ na $BC$. Podle věty $usu$ je $\triangle ABM \cong \triangle ACM$, neboť máme dva shodné úhly $|\angle ABM| = |\angle ACM|$ a~$|\angle AMB| = |\angle AMC| = 90^\circ$ a~společnou stranu~$AM$, tedy $|AB| = |AC|$. Podobně bychom za $M$ mohli zvolit patu osy vnitřního úhlu při~$A$ -- ze shodných úhlů $|\angle BAM|=|\angle CAM|$ a~$|\angle ABM|=|\angle ACM|$ a~ze společné strany $AM$ znovu aplikujeme větu $usu$. Volba $M$ jako středu $BC$ tu však nepomáhá: dostaneme sice $|BM|=|CM|$, $AM$ společnou a~$|\angle ABM|=|\angle ACM|=\beta$, ale úhel $\beta$ leží naproti $AM$, která může být kratší než $BM$ (při tupém úhlu při~$A$), takže ani větu $Ssu$ obecně použít neumíme -- ponaučení je, že i~když máme správný bod, na jeho přesné definici záleží (to ještě mnohokrát uvidíme).
\Remark Jiný vtipný důkaz je založen na tom, že dokážeme $\triangle ABC \cong \triangle ACB$ (všimněte si různého pořadí vrcholů). V~případě, že známe stejné strany, použijeme větu $sus$ nebo dokonce $sss$ -- ta nám následně dá shodné úhly. V~případě, že známe stejné úhly, to zase bude věta $usu$, a~shodnost nám dá stejné strany.
}
@@ -256,23 +256,23 @@
\Problem{0}{}{
Pravoúhlý trojúhelník má zbývající dva úhly rovny $60^\circ$ a~$30^\circ$ právě tehdy, když je jeho přepona dvakrát delší než kratší odvěsna.
}{
- Řekněme, že $BC$ je přepona a~je dvakrát delší než odvěsna $AB$. Trikem je uvážit bod $B'$ takový, že $A$ je střed úsečky $BB'$.
+ Řekněme, že $AB$ je přepona a~je dvakrát delší než odvěsna $BC$. Trikem je uvážit bod $B'$ takový, že $C$ je střed úsečky $BB'$.
}{
- Nechť náš trojúhelník má pravý úhel při vrcholu~$A$.
+ Nechť náš trojúhelník má pravý úhel při vrcholu~$C$.
- \textit{($\Rightarrow$)} Předpokládejme $|BC| = 2|AB|$. Nechť $B'$ je takový bod, že $A$ je středem úsečky $BB'$. Potom $|AB'| = |AB|$ a~$A$ leží mezi $B$, $B'$, takže $|\angle B'AC|$ je vedlejší k~$|\angle BAC| = 90^\circ$, čili také $90^\circ$. Platí $\triangle ABC \cong \triangle AB'C$ z~věty $sus$, neboť úhly při~$A$ jsou oba pravé, strana~$AC$ je společná, a~$|AB|=|AB'|$.
+ \textit{($\Rightarrow$)} Předpokládejme $|AB| = 2|BC|$. Nechť $B'$ je takový bod, že $C$ je středem úsečky $BB'$. Potom $|B'C| = |BC|$ a~$C$ leží mezi $B$, $B'$, takže $|\angle B'CA|$ je vedlejší k~$|\angle BCA| = 90^\circ$, čili také $90^\circ$. Platí $\triangle CBA \cong \triangle CB'A$ z~věty $sus$, neboť úhly při~$C$ jsou oba pravé, strana~$AC$ je společná, a~$|BC|=|B'C|$.
\Image{angles-90-60-30.pdf}
- Protože $A$ je středem $BB'$, je $|BB'| = 2|AB|$, a~ze zadání $|BC| = 2|AB|$. Spolu
+ Protože $C$ je středem $BB'$, je $|BB'| = 2|BC|$, a~ze zadání $|AB| = 2|BC|$. Spolu
$$
- |BB'| = |BC| = |B'C|,
+ |BB'| = |AB| = |AB'|,
$$
- takže $\triangle BB'C$ je rovnostranný a~všechny jeho úhly jsou $60^\circ$. Speciálně $|\angle ABC| = |\angle B'BC| = 60^\circ$. Ze součtu úhlů v~$\triangle ABC$ dopočítáme $|\angle BCA| = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
+ takže $\triangle ABB'$ je rovnostranný a~všechny jeho úhly jsou $60^\circ$. Speciálně $|\angle ABC| = |\angle ABB'| = 60^\circ$. Ze součtu úhlů v~$\triangle ABC$ dopočítáme $|\angle BAC| = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
- \textit{($\Leftarrow$)} Není těžké rozmyslet si, že úvahy z~předchozího odstavce umíme snadno obrátit -- klíčovou shodnost $\triangle ABC \cong \triangle AB'C$ tentokrát dostaneme z~věty $usu$.
+ \textit{($\Leftarrow$)} Není těžké rozmyslet si, že úvahy z~předchozího odstavce umíme snadno obrátit -- klíčovou shodnost $\triangle CBA \cong \triangle CB'A$ tentokrát dostaneme z~věty $usu$.
- \Remark Jiné řešení je uvážit, že podle Thaletovy věty je střed~$O$ kružnice opsané trojúhelníku $ABC$ zároveň středem přepony $BC$. K~tomuto řešení se podrobněji vrátíme, až se budeme bavit o~kružnicích.
+ \Remark Jiné řešení je uvážit, že podle Thaletovy věty je střed~$O$ kružnice opsané trojúhelníku $ABC$ zároveň středem přepony $AB$. K~tomuto řešení se podrobněji vrátíme, až se budeme bavit o~kružnicích.
}
\sec Co si zapamatovat
diff --git a/data/handouts/angle-basics-1.en.tex b/data/handouts/angle-basics-1.en.tex
index 65b6ea5..6acea6e 100644
--- a/data/handouts/angle-basics-1.en.tex
+++ b/data/handouts/angle-basics-1.en.tex
@@ -98,11 +98,11 @@
\Image{angles-polygon-interior.pdf}
- \Remark{non-convex polygons} The formula $(n-2)\cdot 180^\circ$ also holds for non-self-intersecting non-convex polygons, provided we measure all interior angles toward the inside -- so we count angles greater than $180^\circ$ as such.
+ \Remark{non-convex polygons} The formula $(n-2)\cdot 180^\circ$ also holds for non-convex polygons, provided we measure all interior angles toward the inside -- so we count angles greater than $180^\circ$ as such.
- A fan triangulation from a single vertex may fail even from a convex vertex -- some diagonals can pass outside the polygon. It is still true, however, that every simple $n$-gon can be split into $n-2$ triangles (not necessarily as a fan), which rescues the proof. The reason is induction via a triangle formed by some vertex $V$ and its neighbors $U$, $W$ that lies entirely inside our $n$-gon. Cutting $V$ off along the diagonal $UW$ gives an $(n-1)$-gon; iterating yields $n-2$ triangles. One can prove that such a triangle always exists (in fact, two of them); see the \Link[https://en.wikipedia.org/wiki/Two_ears_theorem]{two ears theorem}.
+ A fan triangulation from a single vertex may fail -- some diagonals can pass outside the polygon. It is still true, however, that every simple $n$-gon can be split into $n-2$ triangles (not necessarily as a fan), which rescues the proof. The reason is induction via a triangle formed by some vertex $V$ and its neighbors $U$, $W$ that lies entirely inside our $n$-gon. Cutting $V$ off along the diagonal $UW$ gives an $(n-1)$-gon; iterating yields $n-2$ triangles. One can prove that such a triangle always exists (in fact, two of them); see the \Link[https://en.wikipedia.org/wiki/Two_ears_theorem]{two ears theorem}.
- As for Proof~3: it works only if there is an interior point $O$ visible from every vertex (i.e., the segments $OA_i$ lie entirely inside). For some non-convex polygons no such $O$ exists (try drawing one) -- in that case Proof~3 cannot be salvaged directly and one must fall back on the triangulation from Proof~2.
+ As for Proof~3: it works only if there is an interior point $O$ visible from every vertex (i.e., the segments $OA_i$ lie entirely inside). For some non-convex polygons no such $O$ exists (try drawing one) -- in that case Proof~3 cannot be salvaged directly and one must fall back on the triangulation described in the previous paragraph.
}
Now let's state two more simple but useful auxiliary claims:
@@ -208,7 +208,7 @@
\Image{angles-Ssa-proof-isosceles.pdf}
- If $b < a$, the point $B$ would lie \textit{outside} the circle $k$. The ray could meet it at two points -- giving two different (non-congruent) triangles -- or miss it entirely, which gives no triangle at all.
+ If $b < a$, the point $B$ would lie \textit{outside} the circle $k$. The ray could meet it at two points -- giving two different (non-congruent) triangles.
\Image{angles-Ssa-proof-two-solutions.pdf}
@@ -220,11 +220,11 @@
\Theorem{isosceles triangle}{
Prove that if a triangle~$ABC$ satisfies $AB=AC$, then $\angle ABC=\angle ACB$. Prove also the converse implication (i.e., that equality of angles implies equality of lengths).
}{
- \textit{Forward implication.} Assume $AB = AC$. Let $M$ be the midpoint of $BC$. The triangles $ABM$ and $ACM$ are congruent by $SSS$ ($AB=AC$ by assumption, $BM=CM$ by definition of the midpoint, common side $AM$), from which $\angle ABC = \angle ACB$.
+ \textit{Forward implication.} Assume $AB = AC$. Let $M$ be the midpoint of $BC$. The triangles $ABM$ and $ACM$ are congruent by $SSS$ ($AB=AC$ by assumption, $BM=CM$ by definition of the midpoint, common side $AM$), from which $\angle ABC = \angle ACB$. This proof also works with other choices of $M$. If we take $M$ to be the foot of the perpendicular from~$A$ to $BC$, we obtain the common side $AM$, $AB=AC$ and a right angle at~$M$, which lies opposite the longest side (the hypotenuse) $AB$, resp.~$AC$ -- we apply $SsA$. If we take $M$ to be the foot of the bisector of the interior angle at~$A$, we have $AB=AC$, the equal angle $\angle BAM=\angle CAM$, and the common side $AM$ between them -- we apply $SAS$.
\Image{angles-isosceles-triangle.pdf}
- \textit{Converse implication.} Assume $\angle ABC = \angle ACB = \beta$. Let $M$ be the foot of the perpendicular from~$A$ to $BC$. By $ASA$, $\triangle ABM \cong \triangle ACM$, since we have two equal angles $\angle ABM = \angle ACM$ and $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$ and the common side~$AM$, so $AB = AC$.
+ \textit{Converse implication.} Assume $\angle ABC = \angle ACB = \beta$. Let $M$ be the foot of the perpendicular from~$A$ to $BC$. By $ASA$, $\triangle ABM \cong \triangle ACM$, since we have two equal angles $\angle ABM = \angle ACM$ and $\angle AMB = \angle AMC = 90^\circ$ and the common side~$AM$, so $AB = AC$. Similarly, we could take $M$ to be the foot of the bisector of the interior angle at~$A$ -- from the equal angles $\angle BAM=\angle CAM$ and $\angle ABM=\angle ACM$ and the common side $AM$ we again apply $ASA$. Taking $M$ to be the midpoint of $BC$, however, doesn't help here: we get $BM=CM$, $AM$ common, and $\angle ABM=\angle ACM=\beta$, but the angle $\beta$ lies opposite $AM$, which may be shorter than $BM$ (when the angle at~$A$ is obtuse), so even $SsA$ cannot be applied in general -- the lesson is that even with the right point, its precise definition matters (we will see this many more times).
\Remark Another cute proof is based on showing that $\triangle ABC \cong \triangle ACB$ (note the different order of vertices). In the case where we know the equal sides, we use $SAS$ or even $SSS$ -- which then gives equal angles. In the case where we know the equal angles, it will instead be $ASA$, and the congruence gives equal sides.
}
@@ -256,23 +256,23 @@
\Problem{0}{}{
A right triangle has its other two angles equal to $60^\circ$ and $30^\circ$ if and only if its hypotenuse is twice as long as the shorter leg.
}{
- Say $BC$ is the hypotenuse and is twice as long as the leg $AB$. The trick is to introduce a point $B'$ such that $A$ is the midpoint of segment $BB'$.
+ Say $AB$ is the hypotenuse and is twice as long as the leg $BC$. The trick is to introduce a point $B'$ such that $C$ is the midpoint of segment $BB'$.
}{
- Let our triangle have its right angle at vertex~$A$.
+ Let our triangle have its right angle at vertex~$C$.
- \textit{($\Rightarrow$)} Assume $BC = 2\cdot AB$. Let $B'$ be the point such that $A$ is the midpoint of segment $BB'$. Then $AB' = AB$ and $A$ lies between $B$ and $B'$, so $\angle B'AC$ is in a linear pair with $\angle BAC = 90^\circ$, hence also equals $90^\circ$. We have $\triangle ABC \cong \triangle AB'C$ by $SAS$, since the angles at~$A$ are both right, the side~$AC$ is common, and $AB=AB'$.
+ \textit{($\Rightarrow$)} Assume $AB = 2\cdot BC$. Let $B'$ be the point such that $C$ is the midpoint of segment $BB'$. Then $B'C = BC$ and $C$ lies between $B$ and $B'$, so $\angle B'CA$ is in a linear pair with $\angle BCA = 90^\circ$, hence also equals $90^\circ$. We have $\triangle CBA \cong \triangle CB'A$ by $SAS$, since the angles at~$C$ are both right, the side~$AC$ is common, and $BC=B'C$.
\Image{angles-90-60-30.pdf}
- Since $A$ is the midpoint of $BB'$, we have $BB' = 2\cdot AB$, and from the assumption $BC = 2\cdot AB$. Together,
+ Since $C$ is the midpoint of $BB'$, we have $BB' = 2\cdot BC$, and from the assumption $AB = 2\cdot BC$. Together,
$$
- BB' = BC = B'C,
+ BB' = AB = AB',
$$
- so $\triangle BB'C$ is equilateral and all its angles are $60^\circ$. In particular, $\angle ABC = \angle B'BC = 60^\circ$. From the angle sum in $\triangle ABC$ we compute $\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
+ so $\triangle ABB'$ is equilateral and all its angles are $60^\circ$. In particular, $\angle ABC = \angle ABB' = 60^\circ$. From the angle sum in $\triangle ABC$ we compute $\angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
- \textit{($\Leftarrow$)} It is not hard to see that the reasoning of the previous paragraph can easily be reversed -- this time the key congruence $\triangle ABC \cong \triangle AB'C$ comes from $ASA$.
+ \textit{($\Leftarrow$)} It is not hard to see that the reasoning of the previous paragraph can easily be reversed -- this time the key congruence $\triangle CBA \cong \triangle CB'A$ comes from $ASA$.
- \Remark Another solution is to note that by Thales' theorem, the circumcenter~$O$ of triangle $ABC$ is also the midpoint of the hypotenuse $BC$. We will return to this solution in more detail when we discuss circles.
+ \Remark Another solution is to note that by Thales' theorem, the circumcenter~$O$ of triangle $ABC$ is also the midpoint of the hypotenuse $AB$. We will return to this solution in more detail when we discuss circles.
}
\sec What to Remember
diff --git a/data/handouts/angle-basics-1.sk.tex b/data/handouts/angle-basics-1.sk.tex
index 5b09a9a..41d012b 100644
--- a/data/handouts/angle-basics-1.sk.tex
+++ b/data/handouts/angle-basics-1.sk.tex
@@ -98,11 +98,11 @@
\Image{angles-polygon-interior.pdf}
- \Remark{nekonvexné mnohouholníky} Vzorec $(n-2)\cdot 180^\circ$ platí aj pre navzájom sa nepretínajúce nekonvexné mnohouholníky, ak všetky vnútorné uhly meriame smerom dovnútra -- teda aj uhly väčšie než $180^\circ$ rátame ako také.
+ \Remark{nekonvexné mnohouholníky} Vzorec $(n-2)\cdot 180^\circ$ platí aj pre nekonvexné mnohouholníky, ak všetky vnútorné uhly meriame smerom dovnútra -- teda aj uhly väčšie než $180^\circ$ rátame ako také.
- Vejárová triangulácia z~jedného vrcholu nemusí fungovať ani z~konvexného vrcholu -- niektoré uhlopriečky môžu prechádzať mimo mnohouholníka. Platí však, že každý jednoduchý $n$-uholník sa dá rozdeliť na $n-2$ trojuholníkov (nie nutne vejárovo), čo dôkaz zachráni. Dôvod je indukcia cez trojuholník tvorený nejakým vrcholom $V$ a~jeho susedmi $U$, $W$, ktorý leží celý vo vnútri nášho $n$-uholníka. Odrezaním $V$ uhlopriečkou $UW$ dostaneme $(n-1)$-uholník; opakovaním teda $n-2$ trojuholníkov. Dá sa dokázať, že takýto trojuholník vždy existuje (dokonca dva), viď \Link[https://en.wikipedia.org/wiki/Two_ears_theorem]{veta o~dvoch ušiach}.
+ Vejárová triangulácia z~jedného vrcholu fungovať nemusí -- niektoré uhlopriečky môžu prechádzať mimo mnohouholníka. Platí však, že každý jednoduchý $n$-uholník sa dá rozdeliť na $n-2$ trojuholníkov (nie nutne vejárovo), čo dôkaz zachráni. Dôvod je indukcia cez trojuholník tvorený nejakým vrcholom $V$ a~jeho susedmi $U$, $W$, ktorý leží celý vo vnútri nášho $n$-uholníka. Odrezaním $V$ uhlopriečkou $UW$ dostaneme $(n-1)$-uholník; opakovaním teda $n-2$ trojuholníkov. Dá sa dokázať, že takýto trojuholník vždy existuje (dokonca dva), viď \Link[https://en.wikipedia.org/wiki/Two_ears_theorem]{veta o~dvoch ušiach}.
- K~dôkazu~3: funguje len ak existuje vnútorný bod $O$ viditeľný zo všetkých vrcholov (t.~j. úsečky $OA_i$ ležia celé vo vnútri). Pre niektoré nekonvexné mnohouholníky taký $O$ nemusí existovať (skúste taký nakresliť) -- v~takom prípade sa dôkaz~3 nedá priamo zachrániť a~treba siahnuť po triangulácii z~dôkazu~2.
+ K~dôkazu~3: funguje len ak existuje vnútorný bod $O$ viditeľný zo všetkých vrcholov (t. j. úsečky $OA_i$ ležia celé vo vnútri). Pre niektoré nekonvexné mnohouholníky taký bod $O$ nemusí existovať (skúste taký nakresliť) -- v~takom prípade sa dôkaz~3 nedá priamo zachrániť a~treba siahnuť po triangulácii popísanej v~predošlom odstavci.
}
Teraz uveďme ešte dve jednoduché, ale užitočné pomocné tvrdenia:
@@ -208,7 +208,7 @@
\Image{angles-Ssa-proof-isosceles.pdf}
- Ak by bolo $b < a$, bod $B$ by ležal \textit{zvonku} kružnice $k$. Polpriamka by ju mohla pretnúť v~dvoch bodoch -- vznikli by tak dva rôzne (nezhodné) trojuholníky -- alebo by ju minula celkom, čo nevedie k~žiadnemu trojuholníku.
+ Ak by bolo $b < a$, bod $B$ by ležal \textit{zvonku} kružnice $k$. Polpriamka by ju mohla pretnúť v~dvoch bodoch -- vznikli by tak dva rôzne (nezhodné) trojuholníky.
\Image{angles-Ssa-proof-two-solutions.pdf}
@@ -220,11 +220,11 @@
\Theorem{rovnoramenný trojuholník}{
Dokážte, že ak pre trojuholník~$ABC$ platí $|AB|=|AC|$, tak $|\angle ABC|=|\angle ACB|$. Dokážte tiež obrátenú implikáciu (teda že z~rovnosti uhlov vyplýva rovnosť dĺžok).
}{
- \textit{Priama implikácia.} Predpokladajme $|AB| = |AC|$. Nech $M$ je stred $BC$. Trojuholníky $ABM$ a~$ACM$ sú zhodné podľa $sss$ ($|AB|=|AC|$ z~predpokladu, $|BM|=|CM|$ zo~stredu, spoločná strana $AM$), odkiaľ $|\angle ABC| = |\angle ACB|$.
+ \textit{Priama implikácia.} Predpokladajme $|AB| = |AC|$. Nech $M$ je stred $BC$. Trojuholníky $ABM$ a~$ACM$ sú zhodné podľa $sss$ ($|AB|=|AC|$ z~predpokladu, $|BM|=|CM|$ zo~stredu, spoločná strana $AM$), odkiaľ $|\angle ABC| = |\angle ACB|$. Tento dôkaz funguje aj s~inými voľbami bodu $M$. Ak za $M$ vezmeme pätu kolmice z~$A$ na $BC$, dostaneme spoločnú stranu $AM$, $|AB|=|AC|$ a~pravý uhol pri~$M$, ktorý leží oproti najdlhšej strane (prepone) $AB$ resp.~$AC$ -- aplikujeme vetu $Ssu$. Ak za $M$ vezmeme pätu osi vnútorného uhla pri~$A$, máme $|AB|=|AC|$, zhodný uhol $|\angle BAM|=|\angle CAM|$ a~spoločnú stranu $AM$ medzi nimi -- aplikujeme vetu $sus$.
\Image{angles-isosceles-triangle.pdf}
- \textit{Obrátená implikácia.} Predpokladajme $|\angle ABC| = |\angle ACB| = \beta$. Nech $M$ je päta kolmice z~$A$ na $BC$. Podľa vety $usu$ je $\triangle ABM \cong \triangle ACM$, keďže máme dva zhodné uhly $|\angle ABM| = |\angle ACM|$ a $|\angle AMB| = |\angle AMC| = 90^\circ$ a~spoločnú stranu~$AM$, teda $|AB| = |AC|$.
+ \textit{Obrátená implikácia.} Predpokladajme $|\angle ABC| = |\angle ACB| = \beta$. Nech $M$ je päta kolmice z~$A$ na $BC$. Podľa vety $usu$ je $\triangle ABM \cong \triangle ACM$, keďže máme dva zhodné uhly $|\angle ABM| = |\angle ACM|$ a $|\angle AMB| = |\angle AMC| = 90^\circ$ a~spoločnú stranu~$AM$, teda $|AB| = |AC|$. Podobne by sme za $M$ mohli zvoliť pätu osi vnútorného uhla pri~$A$ -- zo zhodných uhlov $|\angle BAM|=|\angle CAM|$ a~$|\angle ABM|=|\angle ACM|$ a~zo spoločnej strany $AM$ znova aplikujeme vetu $usu$. Voľba $M$ ako stredu $BC$ však tu nepomáha: dostaneme síce $|BM|=|CM|$, $AM$ spoločnú a~$|\angle ABM|=|\angle ACM|=\beta$, no uhol $\beta$ leží oproti $AM$, ktorá môže byť kratšia než $BM$ (pri tupom uhle pri~$A$), takže ani vetu $Ssu$ vo všeobecnosti nevieme použiť -- poučenie je, že aj keď máme správny bod, tak na jeho presnej definícii záleží (to ešte veľakrát uvidíme).
\Remark Iný vtipný dôkaz je založený na tom, že dokážeme $\triangle ABC \cong \triangle ACB$ (všimnite si rôzne poradie vrcholov). V~prípade, že poznáme rovnaké strany, tak použijeme vetu $sus$ alebo dokonca $sss$ -- tá nám následne dá zhodné uhly. V~prípade, že poznáme rovnaké uhly, to zas bude veta $usu$, a~zhodnosť nám dá rovnaké strany.
}
@@ -256,23 +256,23 @@
\Problem{0}{}{
Pravouhlý trojuholník má zvyšné dva uhly rovné $60^\circ$ a~$30^\circ$ práve vtedy, keď je jeho prepona dvakrát dlhšia než kratšia odvesna.
}{
- Povedzme, že $BC$ je prepona a~je dvakrát dlhšia než odvesna $AB$. Trikom je uvážiť bod $B'$ taký, že $A$ je stred úsečky $BB'$.
+ Povedzme, že $AB$ je prepona a~je dvakrát dlhšia než odvesna $BC$. Trikom je uvážiť bod $B'$ taký, že $C$ je stred úsečky $BB'$.
}{
- Nech náš trojuholník má pravý uhol pri vrchole~$A$.
+ Nech náš trojuholník má pravý uhol pri vrchole~$C$.
- \textit{($\Rightarrow$)} Predpokladajme $|BC| = 2|AB|$. Nech $B'$ je taký bod, že $A$ je stredom úsečky $BB'$. Potom $|AB'| = |AB|$ a~$A$ leží medzi $B$, $B'$, takže $|\angle B'AC|$ je vedľajší k~$|\angle BAC| = 90^\circ$, čiže tiež $90^\circ$. Platí $\triangle ABC \cong \triangle AB'C$ z~vety $sus$, keďže uhly pri~$A$ sú oba pravé, strana~$AC$ je spoločná, a $|AB|=|AB'|$.
+ \textit{($\Rightarrow$)} Predpokladajme $|AB| = 2|BC|$. Nech $B'$ je taký bod, že $C$ je stredom úsečky $BB'$. Potom $|B'C| = |BC|$ a~$C$ leží medzi $B$, $B'$, takže $|\angle B'CA|$ je vedľajší k~$|\angle BCA| = 90^\circ$, čiže tiež $90^\circ$. Platí $\triangle CBA \cong \triangle CB'A$ z~vety $sus$, keďže uhly pri~$C$ sú oba pravé, strana~$AC$ je spoločná, a $|BC|=|B'C|$.
\Image{angles-90-60-30.pdf}
- Pretože $A$ je stredom $BB'$, je $|BB'| = 2|AB|$, a~zo zadania $|BC| = 2|AB|$. Spolu
+ Pretože $C$ je stredom $BB'$, je $|BB'| = 2|BC|$, a~zo zadania $|AB| = 2|BC|$. Spolu
$$
- |BB'| = |BC| = |B'C|,
+ |BB'| = |AB| = |AB'|,
$$
- takže $\triangle BB'C$ je rovnostranný a~všetky jeho uhly sú $60^\circ$. Špeciálne $|\angle ABC| = |\angle B'BC| = 60^\circ$. Zo súčtu uhlov v~$\triangle ABC$ dopočítame $|\angle BCA| = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
+ takže $\triangle ABB'$ je rovnostranný a~všetky jeho uhly sú $60^\circ$. Špeciálne $|\angle ABC| = |\angle ABB'| = 60^\circ$. Zo súčtu uhlov v~$\triangle ABC$ dopočítame $|\angle BAC| = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.
- \textit{($\Leftarrow$)} Nie je ťažké rozmyslieť si, že úvahy z~predošlého odstavca vieme ľahko obrátiť -- kľúčovú zhodnosť $\triangle ABC \cong \triangle AB'C$ tentokrát dostaneme z~vety $usu$.
+ \textit{($\Leftarrow$)} Nie je ťažké rozmyslieť si, že úvahy z~predošlého odstavca vieme ľahko obrátiť -- kľúčovú zhodnosť $\triangle CBA \cong \triangle CB'A$ tentokrát dostaneme z~vety $usu$.
- \Remark Iné riešenie je uvážiť, že podľa Tálesovej vety je stred~$O$ kružnice opísanej trojuholníku $ABC$ zároveň stredom prepony $BC$. K~tomuto riešeniu sa podrobnejšie vrátime, keď sa budeme baviť o~kružniciach.
+ \Remark Iné riešenie je uvážiť, že podľa Tálesovej vety je stred~$O$ kružnice opísanej trojuholníku $ABC$ zároveň stredom prepony $AB$. K~tomuto riešeniu sa podrobnejšie vrátime, keď sa budeme baviť o~kružniciach.
}
\sec Čo si zapamätať
diff --git a/web/src/content/handouts/angle-basics-1.cs.json b/web/src/content/handouts/angle-basics-1.cs.json
index 8b645f7..6883070 100644
--- a/web/src/content/handouts/angle-basics-1.cs.json
+++ b/web/src/content/handouts/angle-basics-1.cs.json
@@ -1381,7 +1381,7 @@
},
{
"type": "text",
- "text": " platí i\u00A0pro navzájem se neprotínající nekonvexní mnohoúhelníky, pokud všechny vnitřní úhly měříme směrem dovnitř – tedy i\u00A0úhly větší než "
+ "text": " platí i\u00A0pro nekonvexní mnohoúhelníky, pokud všechny vnitřní úhly měříme směrem dovnitř – tedy i\u00A0úhly větší než "
},
{
"type": "math",
@@ -1400,7 +1400,7 @@
"content": [
{
"type": "text",
- "text": "Vějířová triangulace z\u00A0jednoho vrcholu nemusí fungovat ani z\u00A0konvexního vrcholu – některé úhlopříčky mohou procházet mimo mnohoúhelník. Platí však, že každý jednoduchý "
+ "text": "Vějířová triangulace z\u00A0jednoho vrcholu nemusí fungovat – některé úhlopříčky mohou procházet mimo mnohoúhelník. Platí však, že každý jednoduchý "
},
{
"type": "math",
@@ -1532,7 +1532,7 @@
},
{
"type": "text",
- "text": " leží celé uvnitř). Pro některé nekonvexní mnohoúhelníky takový "
+ "text": " leží celé uvnitř). Pro některé nekonvexní mnohoúhelníky takový bod\u00A0"
},
{
"type": "math",
@@ -1541,7 +1541,7 @@
},
{
"type": "text",
- "text": " nemusí existovat (zkuste takový nakreslit) – v\u00A0takovém případě se důkaz\u00A03 nedá přímo zachránit a\u00A0je třeba sáhnout po triangulaci z\u00A0důkazu\u00A02."
+ "text": " nemusí existovat (zkuste takový nakreslit) – v\u00A0takovém případě se důkaz\u00A03 nedá přímo zachránit a\u00A0je třeba sáhnout po triangulaci popsané v\u00A0předchozím odstavci."
}
],
"highligted": false
@@ -3414,7 +3414,7 @@
},
{
"type": "text",
- "text": ". Polopřímka by ji mohla protnout ve dvou bodech – vznikly by tak dva různé (neshodné) trojúhelníky – nebo by ji minula úplně, což nevede k\u00A0žádnému trojúhelníku."
+ "text": ". Polopřímka by ji mohla protnout ve dvou bodech – vznikly by tak dva různé (neshodné) trojúhelníky."
}
],
"highligted": false
@@ -3616,6 +3616,150 @@
"text": "|\\angle ABC| = |\\angle ACB|",
"isDisplay": false
},
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ". Tento důkaz funguje i s\u00A0jinými volbami bodu "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ". Pokud za "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " vezmeme patu kolmice z\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "A",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " na "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "BC",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", dostaneme společnou stranu "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "|AB|=|AC|",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " a\u00A0pravý úhel při\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", který leží naproti nejdelší straně (přeponě) "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AB",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " resp.\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AC",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " – aplikujeme větu "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "Ssu",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ". Pokud za "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " vezmeme patu osy vnitřního úhlu při\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "A",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", máme "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "|AB|=|AC|",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", shodný úhel "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "|\\angle BAM|=|\\angle CAM|",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " a\u00A0společnou stranu "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " mezi nimi – aplikujeme větu "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "sus",
+ "isDisplay": false
+ },
{
"type": "text",
"text": "."
@@ -3739,7 +3883,151 @@
},
{
"type": "text",
- "text": "."
+ "text": ". Podobně bychom za "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " mohli zvolit patu osy vnitřního úhlu při\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "A",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " – ze shodných úhlů "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "|\\angle BAM|=|\\angle CAM|",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " a\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "|\\angle ABM|=|\\angle ACM|",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " a\u00A0ze společné strany "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " znovu aplikujeme větu "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "usu",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ". Volba "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " jako středu "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "BC",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " tu však nepomáhá: dostaneme sice "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "|BM|=|CM|",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " společnou a\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "|\\angle ABM|=|\\angle ACM|=\\beta",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", ale úhel "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "\\beta",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " leží naproti "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", která může být kratší než "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "BM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " (při tupém úhlu při\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "A",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": "), takže ani větu "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "Ssu",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " obecně použít neumíme – ponaučení je, že i\u00A0když máme správný bod, na jeho přesné definici záleží (to ještě mnohokrát uvidíme)."
}
],
"highligted": false
@@ -4125,7 +4413,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "BC",
+ "text": "AB",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4134,7 +4422,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "AB",
+ "text": "BC",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4152,7 +4440,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4183,7 +4471,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4220,7 +4508,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|BC| = 2|AB|",
+ "text": "|AB| = 2|BC|",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4238,7 +4526,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4256,7 +4544,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|AB'| = |AB|",
+ "text": "|B'C| = |BC|",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4265,7 +4553,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4292,7 +4580,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|\\angle B'AC|",
+ "text": "|\\angle B'CA|",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4301,7 +4589,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|\\angle BAC| = 90^\\circ",
+ "text": "|\\angle BCA| = 90^\\circ",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4319,7 +4607,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "\\triangle ABC \\cong \\triangle AB'C",
+ "text": "\\triangle CBA \\cong \\triangle CB'A",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4337,7 +4625,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4355,7 +4643,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|AB|=|AB'|",
+ "text": "|BC|=|B'C|",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4386,7 +4674,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4404,7 +4692,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|BB'| = 2|AB|",
+ "text": "|BB'| = 2|BC|",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4413,7 +4701,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|BC| = 2|AB|",
+ "text": "|AB| = 2|BC|",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4425,7 +4713,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|BB'| = |BC| = |B'C|,",
+ "text": "|BB'| = |AB| = |AB'|,",
"isDisplay": true
},
{
@@ -4437,7 +4725,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "\\triangle BB'C",
+ "text": "\\triangle ABB'",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4455,7 +4743,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|\\angle ABC| = |\\angle B'BC| = 60^\\circ",
+ "text": "|\\angle ABC| = |\\angle ABB'| = 60^\\circ",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4473,7 +4761,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|\\angle BCA| = 180^\\circ - 90^\\circ - 60^\\circ = 30^\\circ",
+ "text": "|\\angle BAC| = 180^\\circ - 90^\\circ - 60^\\circ = 30^\\circ",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4510,7 +4798,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "\\triangle ABC \\cong \\triangle AB'C",
+ "text": "\\triangle CBA \\cong \\triangle CB'A",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4565,7 +4853,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "BC",
+ "text": "AB",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4959,8 +5247,8 @@
{
"contentId": "angle-basics-1/angles-isosceles-right-triangle.svg",
"originalId": "angles-isosceles-right-triangle.pdf",
- "width": "97.95pt",
- "height": "95.36pt",
+ "width": "124.77pt",
+ "height": "78.4pt",
"scale": 1.0
},
{
diff --git a/web/src/content/handouts/angle-basics-1.en.json b/web/src/content/handouts/angle-basics-1.en.json
index 3267a57..97322d5 100644
--- a/web/src/content/handouts/angle-basics-1.en.json
+++ b/web/src/content/handouts/angle-basics-1.en.json
@@ -1390,7 +1390,7 @@
},
{
"type": "text",
- "text": " also holds for non-self-intersecting non-convex polygons, provided we measure all interior angles toward the inside – so we count angles greater than "
+ "text": " also holds for non-convex polygons, provided we measure all interior angles toward the inside – so we count angles greater than "
},
{
"type": "math",
@@ -1409,7 +1409,7 @@
"content": [
{
"type": "text",
- "text": "A fan triangulation from a single vertex may fail even from a convex vertex – some diagonals can pass outside the polygon. It is still true, however, that every simple "
+ "text": "A fan triangulation from a single vertex may fail – some diagonals can pass outside the polygon. It is still true, however, that every simple "
},
{
"type": "math",
@@ -1550,7 +1550,7 @@
},
{
"type": "text",
- "text": " exists (try drawing one) – in that case Proof\u00A03 cannot be salvaged directly and one must fall back on the triangulation from Proof\u00A02."
+ "text": " exists (try drawing one) – in that case Proof\u00A03 cannot be salvaged directly and one must fall back on the triangulation described in the previous paragraph."
}
],
"highligted": false
@@ -3416,7 +3416,7 @@
},
{
"type": "text",
- "text": ". The ray could meet it at two points – giving two different (non-congruent) triangles – or miss it entirely, which gives no triangle at all."
+ "text": ". The ray could meet it at two points – giving two different (non-congruent) triangles."
}
],
"highligted": false
@@ -3618,6 +3618,150 @@
"text": "\\angle ABC = \\angle ACB",
"isDisplay": false
},
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ". This proof also works with other choices of "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ". If we take "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " to be the foot of the perpendicular from\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "A",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " to "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "BC",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", we obtain the common side "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AB=AC",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " and a right angle at\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", which lies opposite the longest side (the hypotenuse) "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AB",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", resp.\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AC",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " – we apply "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "SsA",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ". If we take "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " to be the foot of the bisector of the interior angle at\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "A",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", we have "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AB=AC",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", the equal angle "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "\\angle BAM=\\angle CAM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", and the common side "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " between them – we apply "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "SAS",
+ "isDisplay": false
+ },
{
"type": "text",
"text": "."
@@ -3741,7 +3885,151 @@
},
{
"type": "text",
- "text": "."
+ "text": ". Similarly, we could take "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " to be the foot of the bisector of the interior angle at\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "A",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " – from the equal angles "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "\\angle BAM=\\angle CAM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " and "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "\\angle ABM=\\angle ACM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " and the common side "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " we again apply "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "ASA",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ". Taking "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " to be the midpoint of "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "BC",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", however, doesn't help here: we get "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "BM=CM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " common, and "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "\\angle ABM=\\angle ACM=\\beta",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", but the angle "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "\\beta",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " lies opposite "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", which may be shorter than "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "BM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " (when the angle at\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "A",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " is obtuse), so even "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "SsA",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " cannot be applied in general – the lesson is that even with the right point, its precise definition matters (we will see this many more times)."
}
],
"highligted": false
@@ -4131,7 +4419,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "BC",
+ "text": "AB",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4140,7 +4428,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "AB",
+ "text": "BC",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4158,7 +4446,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4189,7 +4477,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4226,7 +4514,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "BC = 2\\cdot AB",
+ "text": "AB = 2\\cdot BC",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4244,7 +4532,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4262,7 +4550,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "AB' = AB",
+ "text": "B'C = BC",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4271,7 +4559,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4298,7 +4586,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "\\angle B'AC",
+ "text": "\\angle B'CA",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4307,7 +4595,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "\\angle BAC = 90^\\circ",
+ "text": "\\angle BCA = 90^\\circ",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4325,7 +4613,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "\\triangle ABC \\cong \\triangle AB'C",
+ "text": "\\triangle CBA \\cong \\triangle CB'A",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4343,7 +4631,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4361,7 +4649,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "AB=AB'",
+ "text": "BC=B'C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4392,7 +4680,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4410,7 +4698,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "BB' = 2\\cdot AB",
+ "text": "BB' = 2\\cdot BC",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4419,7 +4707,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "BC = 2\\cdot AB",
+ "text": "AB = 2\\cdot BC",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4431,7 +4719,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "BB' = BC = B'C,",
+ "text": "BB' = AB = AB',",
"isDisplay": true
},
{
@@ -4443,7 +4731,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "\\triangle BB'C",
+ "text": "\\triangle ABB'",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4461,7 +4749,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "\\angle ABC = \\angle B'BC = 60^\\circ",
+ "text": "\\angle ABC = \\angle ABB' = 60^\\circ",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4479,7 +4767,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "\\angle BCA = 180^\\circ - 90^\\circ - 60^\\circ = 30^\\circ",
+ "text": "\\angle BAC = 180^\\circ - 90^\\circ - 60^\\circ = 30^\\circ",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4516,7 +4804,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "\\triangle ABC \\cong \\triangle AB'C",
+ "text": "\\triangle CBA \\cong \\triangle CB'A",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4571,7 +4859,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "BC",
+ "text": "AB",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4965,8 +5253,8 @@
{
"contentId": "angle-basics-1/angles-isosceles-right-triangle.svg",
"originalId": "angles-isosceles-right-triangle.pdf",
- "width": "97.95pt",
- "height": "95.36pt",
+ "width": "124.77pt",
+ "height": "78.4pt",
"scale": 1.0
},
{
diff --git a/web/src/content/handouts/angle-basics-1.sk.json b/web/src/content/handouts/angle-basics-1.sk.json
index 7f9de66..6ee46fe 100644
--- a/web/src/content/handouts/angle-basics-1.sk.json
+++ b/web/src/content/handouts/angle-basics-1.sk.json
@@ -1381,7 +1381,7 @@
},
{
"type": "text",
- "text": " platí aj pre navzájom sa nepretínajúce nekonvexné mnohouholníky, ak všetky vnútorné uhly meriame smerom dovnútra – teda aj uhly väčšie než "
+ "text": " platí aj pre nekonvexné mnohouholníky, ak všetky vnútorné uhly meriame smerom dovnútra – teda aj uhly väčšie než "
},
{
"type": "math",
@@ -1400,7 +1400,7 @@
"content": [
{
"type": "text",
- "text": "Vejárová triangulácia z\u00A0jedného vrcholu nemusí fungovať ani z\u00A0konvexného vrcholu – niektoré uhlopriečky môžu prechádzať mimo mnohouholníka. Platí však, že každý jednoduchý "
+ "text": "Vejárová triangulácia z\u00A0jedného vrcholu fungovať nemusí – niektoré uhlopriečky môžu prechádzať mimo mnohouholníka. Platí však, že každý jednoduchý "
},
{
"type": "math",
@@ -1523,7 +1523,7 @@
},
{
"type": "text",
- "text": " viditeľný zo všetkých vrcholov (t.\u00A0j. úsečky "
+ "text": " viditeľný zo všetkých vrcholov (t. j. úsečky "
},
{
"type": "math",
@@ -1532,7 +1532,7 @@
},
{
"type": "text",
- "text": " ležia celé vo vnútri). Pre niektoré nekonvexné mnohouholníky taký "
+ "text": " ležia celé vo vnútri). Pre niektoré nekonvexné mnohouholníky taký bod "
},
{
"type": "math",
@@ -1541,7 +1541,7 @@
},
{
"type": "text",
- "text": " nemusí existovať (skúste taký nakresliť) – v\u00A0takom prípade sa dôkaz\u00A03 nedá priamo zachrániť a\u00A0treba siahnuť po triangulácii z\u00A0dôkazu\u00A02."
+ "text": " nemusí existovať (skúste taký nakresliť) – v\u00A0takom prípade sa dôkaz\u00A03 nedá priamo zachrániť a\u00A0treba siahnuť po triangulácii popísanej v\u00A0predošlom odstavci."
}
],
"highligted": false
@@ -3414,7 +3414,7 @@
},
{
"type": "text",
- "text": ". Polpriamka by ju mohla pretnúť v\u00A0dvoch bodoch – vznikli by tak dva rôzne (nezhodné) trojuholníky – alebo by ju minula celkom, čo nevedie k\u00A0žiadnemu trojuholníku."
+ "text": ". Polpriamka by ju mohla pretnúť v\u00A0dvoch bodoch – vznikli by tak dva rôzne (nezhodné) trojuholníky."
}
],
"highligted": false
@@ -3616,6 +3616,150 @@
"text": "|\\angle ABC| = |\\angle ACB|",
"isDisplay": false
},
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ". Tento dôkaz funguje aj s\u00A0inými voľbami bodu "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ". Ak za "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " vezmeme pätu kolmice z\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "A",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " na "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "BC",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", dostaneme spoločnú stranu "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "|AB|=|AC|",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " a\u00A0pravý uhol pri\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", ktorý leží oproti najdlhšej strane (prepone) "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AB",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " resp.\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AC",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " – aplikujeme vetu "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "Ssu",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ". Ak za "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " vezmeme pätu osi vnútorného uhla pri\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "A",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", máme "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "|AB|=|AC|",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", zhodný uhol "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "|\\angle BAM|=|\\angle CAM|",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " a\u00A0spoločnú stranu "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " medzi nimi – aplikujeme vetu "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "sus",
+ "isDisplay": false
+ },
{
"type": "text",
"text": "."
@@ -3739,7 +3883,151 @@
},
{
"type": "text",
- "text": "."
+ "text": ". Podobne by sme za "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " mohli zvoliť pätu osi vnútorného uhla pri\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "A",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " – zo zhodných uhlov "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "|\\angle BAM|=|\\angle CAM|",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " a\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "|\\angle ABM|=|\\angle ACM|",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " a\u00A0zo spoločnej strany "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " znova aplikujeme vetu "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "usu",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ". Voľba "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "M",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " ako stredu "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "BC",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " však tu nepomáha: dostaneme síce "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "|BM|=|CM|",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " spoločnú a\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "|\\angle ABM|=|\\angle ACM|=\\beta",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", no uhol "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "\\beta",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " leží oproti "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "AM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": ", ktorá môže byť kratšia než "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "BM",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " (pri tupom uhle pri\u00A0"
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "A",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": "), takže ani vetu "
+ },
+ {
+ "type": "math",
+ "text": "Ssu",
+ "isDisplay": false
+ },
+ {
+ "type": "text",
+ "text": " vo všeobecnosti nevieme použiť – poučenie je, že aj keď máme správny bod, tak na jeho presnej definícii záleží (to ešte veľakrát uvidíme)."
}
],
"highligted": false
@@ -4125,7 +4413,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "BC",
+ "text": "AB",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4134,7 +4422,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "AB",
+ "text": "BC",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4152,7 +4440,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4183,7 +4471,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4220,7 +4508,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|BC| = 2|AB|",
+ "text": "|AB| = 2|BC|",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4238,7 +4526,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4256,7 +4544,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|AB'| = |AB|",
+ "text": "|B'C| = |BC|",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4265,7 +4553,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4292,7 +4580,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|\\angle B'AC|",
+ "text": "|\\angle B'CA|",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4301,7 +4589,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|\\angle BAC| = 90^\\circ",
+ "text": "|\\angle BCA| = 90^\\circ",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4319,7 +4607,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "\\triangle ABC \\cong \\triangle AB'C",
+ "text": "\\triangle CBA \\cong \\triangle CB'A",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4337,7 +4625,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4355,7 +4643,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|AB|=|AB'|",
+ "text": "|BC|=|B'C|",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4386,7 +4674,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "A",
+ "text": "C",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4404,7 +4692,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|BB'| = 2|AB|",
+ "text": "|BB'| = 2|BC|",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4413,7 +4701,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|BC| = 2|AB|",
+ "text": "|AB| = 2|BC|",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4425,7 +4713,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|BB'| = |BC| = |B'C|,",
+ "text": "|BB'| = |AB| = |AB'|,",
"isDisplay": true
},
{
@@ -4437,7 +4725,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "\\triangle BB'C",
+ "text": "\\triangle ABB'",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4455,7 +4743,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|\\angle ABC| = |\\angle B'BC| = 60^\\circ",
+ "text": "|\\angle ABC| = |\\angle ABB'| = 60^\\circ",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4473,7 +4761,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "|\\angle BCA| = 180^\\circ - 90^\\circ - 60^\\circ = 30^\\circ",
+ "text": "|\\angle BAC| = 180^\\circ - 90^\\circ - 60^\\circ = 30^\\circ",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4510,7 +4798,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "\\triangle ABC \\cong \\triangle AB'C",
+ "text": "\\triangle CBA \\cong \\triangle CB'A",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4565,7 +4853,7 @@
},
{
"type": "math",
- "text": "BC",
+ "text": "AB",
"isDisplay": false
},
{
@@ -4959,8 +5247,8 @@
{
"contentId": "angle-basics-1/angles-isosceles-right-triangle.svg",
"originalId": "angles-isosceles-right-triangle.pdf",
- "width": "97.95pt",
- "height": "95.36pt",
+ "width": "124.77pt",
+ "height": "78.4pt",
"scale": 1.0
},
{