Relatorio_Final.md

Fernando Henrique Fernandes

Problema

Realize o controle da posição do manipulador robótico abaixo usando o método de Linearização por Realimentação, sabendo que a sua equação de movimento é dada por $I_{zz}\ddot{\theta} + mgr \text{sen}\theta = \tau$. Para isso, siga os seguintes passos:

Para isso, siga os seguintes passos:

1. Implementar o método de Runge-Kuttta de 4ª ordem para a simular a dinâmica do manipulador.

2. Projetar um controlador pelo método de linearização por realimentação de modo que a garra vá para a posição $\left(\sqrt{3}/2, 1/2\right)$.

3. Aproveitando esse mesmo controlador faça com que o manipulador oscile de acordo com a função ${\theta}_d = \frac{\pi}{6}\left(1-\text{cos} 2 \pi t \right)$.

4. Ainda aproveitando o mesmo controlador, verifique a influência que o atrito seco na junta de rotação causa no controle do braço. O atrito é modelo pela adição do termo $0.25 \text{sgn} \theta$ no lado esquerdo da equação de movimento apresentada anteriormente.

Solução

Toda a implementação necessária para a simulação e resolução do problema proposto foi feita em Python. Para que o modelo ele represente a imagem mostrada no problema, uma pequena alteração foi realizada, pois a equação diferencial foi encontrada considerando que o $\theta$ é medido em relação a parte negativa do eixo $y$, enquanto que na imagem esse valor é medido em relação ao eixo $x$. Então, foi adicionado $\pi/2$ para todos os ângulos fornecidos, de maneira que os ângulo possam ser medidos em relação ao eixo $x$. Além disso, da mesma maneira que o problema foi apresentado, as respostas serão elaboradas por etapas.

1. Solução da EDO

Antes da implementação da solução numérica da EDO, temos que ter todas as variáveis que representam as propriedades físicas do modelo. Esses valores foram oferecidos junto com o problema e estão exibidos na tabela abaixo no sistema internacional (SI).

Variável	Valor
$I_{zz}$	0.12 kg m²
$m$	1 kg
$l$	1 m
$r$	0.5 m
$g$	9.81 m/s²

Além disso, também foram fornecidos os valores iniciais da equação diferencial que são $\theta\left(0\right)=0$ e $\dot{\theta}\left(0\right)=0$. Dessa maneira, podemos iniciar a implementação da solução do método Runge-Kutta de 4ª Ordem. Para isso, procurou-se por alguma biblioteca que realizasse a implementação desse método em Python e algumas foram encontradas. A biblioteca utilizada foi a Scipy, que possui vários métodos de soluções numéricas de EDO, inclusive o do Runge-Kutta.

Primeiramente, a equação diferencial ordinária (EDO) de 2ª ordem foi manipulada para que fosse utilizada pelo método. Para tal, é necessário transformá-la em um sistema de EDO de 1ª ordem. Isso é facilmente realizado por manipulação algébrica simples, como mostrado abaixo.

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Isolando $\ddot{\theta}$ na EDO $I_{zz}\ddot{\theta} + mgr \text{sen}\theta = \tau$, temos

$$\ddot{\theta}=\frac{1}{I_{zz}}\cdot(\tau-mgr\text{sen}\theta) $$

Definido $\dot{\theta}=\omega$, temos duas EDO de 1ª ordem que podem ser resolvidas pelas condições inicias fornecidas

$$\dot{\omega}=\frac{1}{I_{zz}}\cdot(\tau-mgr\text{sen}\theta)$$

$$\dot{\theta}=\omega$$

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Agora que a equação diferencial já está manipulada de forma apropriada para a solução, podemos calcular o seu resultado. Para verificar se o método está funcionando corretamente, foi simulado e plotado os resultados das soluções das EDO considerando as condições iniciais dadas e $\tau=0$, ou seja, o manipulador deve agir como um pêndulo. Os resultados estão ilustrados abaixo.

Essa imagem mostra os resultados da simulação do manipulador. Como esperado, o comportamento é idêntico ao de um pêndulo simples, movimento harmônico. Isso fica ainda mais claro nos gráficos da posição e velocidade angular abaixo.

Com esses resultados podemos concluir que o método de Range-Kutta de quarta ordem implementado pela biblioteca está funcionando corretamente.

2. Projeto do Controlador

O controlador utiliza a técnica de linearização por realimentação, para que o erro decaia de forma exponencial. Para tal, a atuação na dinâmica deve ocorrer através da variável $\tau$. Assim, observando a equaçao diferencial do modelo, podemos implementar o método.

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Reorganizado a EDO

$$\ddot{\theta}=-\frac{1}{I_{zz}}\cdot mgr\text{sen}\theta+\frac{1}{I_{zz}}\cdot\tau $$

Do método de linearização por realimentação, temos

$$\ddot{x}=f(x,\dot{x})+b(x,\dot{x})u$$

$$u=b^{-1}(-f(x,\dot{x})+\ddot{x_{d}}-2\lambda \dot{\tilde{x}}-\lambda^2\tilde{x})$$

Para esse modelo, ficamos com

$$f(x,\dot{x})=\frac{1}{I_{zz}}\cdot mgr\text{sen}\theta$$

$$b(x,\dot{x})=\frac{1}{I_{zz}}$$

Portanto, o torque para realizar o controle é

$$\tau=mgr\text{sen}\theta+I_{zz}(\ddot{\theta_d}-2\lambda \dot{\tilde{\theta}}-\lambda^2\tilde{\theta})$$

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Assim, só precisamos implementar essa equação no algoritmo de controle para a dada variação no valor de referência $\theta_d$. Após essa implementação, vamos verificar com o comportamento para algumas posições desejadas. A não ser que espefcificado, o valor de $\lambda$ foi tomado como sendo $1$.

Teste 1 - Posição Angular Constante

O primeiro teste consistiu em verificar a convergência do manipulador para uma posição inicial desejada fixa que correspondeu a $\theta_d=\pi/6$. Nesse caso, a posição pretendida é constante e, portanto, $\dot{\theta_d}=0$ e $\ddot{\theta_d}=0$. Os resultados gráficos e a simulação para esse exemplo estão mostrados abaixo, assumindo condições iniciais nulas $\theta\left(0\right)=0$ e $\dot{\theta}\left(0\right)=0$.

A simulação mostra que de fato o algoritmo é capaz de realizar o controle do manipulador de forma satisfatória. Isso fica ainda mais claro observando os gráficos da simulação, onde pode ser notado que a posição angular converge da maneira esperada para o valor esperado.

Nessa imagem temos vários gráficos interessantes. O primeiro, em vermelho, mostra que o torque inicia em um valor alto e diminui a medida que o manipulador está chegando na posição desejada e se mantém nesse valor. O segundo podemos notar como o erro da velocidade angular faz com que o erro da posição convirja para zero. Por fim, o terceiro e quarto gráficos mostram a dinâmica das variáveis de estados $[\theta,\dot{\theta}]$, seus respectivos erros $[\hat{\theta},\dot{\hat{\theta}}]$, e valores desejados $[\theta_d, \dot{\theta_d}]$. Neles, ficam nítido a convergência da posição angular para o valor desejado.

Teste 2 - Saturação do Torque

Nesse teste se manteve as condições iniciais do anterior, entretanto, foi definido uma restrição física o motor do manipulador. Essa restrição foi feita através da limitação do torque no intervalo $[-4.8, 4.8]$ , desse modo, exemplificando o limite de torque de um motor real. Então, partindo das mesmas condições inicais anteriores, isto é, $\theta_d=\pi/6$, $\dot{\theta_d}=0$ e $\ddot{\theta_d}=0$, os resultados gráficos para esse exemplo estão mostrados a seguir.

Nesse caso, pode-se notar que a limitação do torque fez com que o controlador fosse incapaz de fazer o manipulador chegar na posição desejada. No caso anterior, o torque máximo aplicado foi de $5 Nm$, e limitando esse valor para apenas $4.8Nm$ já mostrou que o torque é insuficiente. Isso se deu, principalmente, pelo fato do manipulador não ter sido capaz de ultrapasar a posição de 90º que a ação da gravidade no centro de massa causa o maior torque na junta. Assim, podemos perceber que o torque do motor é um dos principais parâmetros para um projeto real de manipulador.

O gráfico do torque revela a limitação em $4.8 Nm$. No segundo gráfico vemos que, diferentemetne do caso anteriro, o erro não converge para $0$. Nos gráficos das variáveis de estados podemos ver o comportamento oscilatório do manipulador causado pela própria dinâmica do movimento.

3. Movimento Oscilatório

Agora para testar se o controlador é capaz de fazer com que o manipulador execute um movimento mais complexo, vamos definir a posição desejada como uma função oscilatória definido pela equação ${\theta}_d = \frac{\pi}{6}\left(1-\text{cos} 2 \pi t \right)$.

Teste 3 - Posição Angular Variável

Da primeira e segunda derivada dessa função são retirados os valores de $\dot{\theta}_d$ e $\ddot{\theta}_d$. Então considerando as mesmas condições iniciais utilizadas anteriormente, $\theta\left(0\right)=0$ e $\dot{\theta}\left(0\right)=0$, os resultados podem ser calculados.

Podemos notar que o controlador é capaz de simular a função proposta relativamente rápido. Para agilizar a convergência para a posição desejado poderíamos ajustar o valor de $\lambda$ para outro valor. Outro ponto interessante que pode ser notado no gráfico é como o período de oscilação é a primiera coisa a ser sincronizada, para que posteriormente a posição seja ajustada aos poucos.

Aqui podemos notar como o comportamento oscilatório da posição desejada reflete um comportamento oscilatório dos gráficos. No gráfico 3, constata-se que a posição está se aproximando cada vez da função desejada ao ponto que, no tempo 10, as curvas já estão praticamente sobrepostas. Também pode-se notar que no gráfico da velocidade angular ocorre uma certa convergência entre a função desejada e o valor atual nesse intervalo de tempo.

4. Adicionando Atrito ao Modelo Simulado

Por fim, iremos adicionar o modelo matemático de atrito seco na equação diferencial da simulação, porém não iremos alterar a equação do controlador. Como explicado em sala de aula, o atrito representa uma incerteza do modelo, de modo que não há garantia se o erro do controlador convergirá para zero. Os testes serão feitos em exemplos que já foram calculados para percebermos as principais diferenças.

Teste 4 - Refazendo o Teste 1 com Atrito

Todas as condições do Teste 1 foram aproveitadas, no entanto, agora o modelo possui o componente do atrito. Nesse caso, apenas a simulação está mostrada abaixo.

Pode-se notar que a adição do atrito fez com que o torque calculado pelo controlador fosse insuficiente de ultrapassar a posição de 90º. Assim, fazendo com que o manipulador em equilíbrio na posição inicial, de maneira semelhante ao que aconteceu com o Teste 2, sendo que o torque não está sendo limitado, e sim o controlador que está mandando torque insuficiente.

Para se ver o desempenho do controlador nesse caso, aumentou-se o valor de $\lambda$ para que o torque necessário para sair dessa posição pudesse ser alcançado. Os resultados com $\lambda=5$ estão mostrados abaixo.

Inicialmente, podemos perceber que o manipulador está se aproximando do valor desejado, entretanto, com o passar do tempo podemos notar que o braço estagna à uma certa distância da posição desejada. Como dito anteriormente, isso é um reflexo de uma parte desconhecida do modelo para o controle e que, consequentemente, não está sendo considerada no controlador. Ou seja, uma das principais desvantagens desse método de controle é a inflexibilidade em relação a incerteza do modelo do manipulador. Isso também faz com que seja um ótimo tipo de controlador em modelos que atuam em ambiente de alto grau de precisão e certeza.

No gráfico do torque podemos notar que ele converge para um valor insuficiente. Nos outros gráficos fica nítido como o ângulo não converge para o valor desejado, apensar de se aproximar consideravelmente.

Test 5 - Refazendo Teste 3 com Atrito

Mantendo todas as considerações do teste 3, com exceção da adição do atrito e definindo $\lambda=5$. Os resultados estão mostrados abaixo.

Semelhante ao caso anterior, a posição final não nunca é alcançada no tempo desejado. Entretanto, o movimento descrito pela função é alcançado, mesmo que não seja no tempo desejado.

Nesse caso, vemos que que o erro no final é bem pequeno já que apenas há uma pequena defasagem entre a posição atual e desejada. O gráfico violeta mostra uma geometria estranha causada pela adição do atrito no problema.

Conclusão

O projeto se mostrou de grande importância no aprofundamento do conhecimento ministrados na disciplina. Desde a análise do comportamento das soluções das equações diferenciais do sistema até a influência que perturbações externas causam no tipo de controle estudado. Também pode-se perceber as vantagens e desvantagens desse tipo de controlador, como a necessidade de um bom modelo dinâmico do sistema.

Por fim, o trabalho também ajudou no desenvolvimento de ferramentas computacionais que podem ser facilmente adaptadas para serem utilizadas em outras disciplinas ou problemas semelhantes.